ao, a1, a2 ........an R ve n N olmak üzere P(x) = an xn + an–1xn–1 + an–2xn–2 + ..... + a1x + ao biçimindeki çok terimlilere polinom denir. 3x3 + 2x2 – 5x + 3 bir polinomdur. 2 x4 – 3x2 – 6x + 3 bir polinomdur. –3 x2 + 5x – 1 polinom değildir. x3 – x–2 + x + 4 polinom değildir. Bir polinomun derecesi en büyük dereceli terimin derecesidir. Örneğin x3 – 3x2 + 4 üçüncü dereceden bir polinomdur. P(x,y) = x5 + x2y2+ x4y2 + y3 – x gibi iki bilinmeyenlerin üsleri toplamıdır. Örneğin yukarıdaki polinomda x4y2 teriminin derecesi 4+2 = 6 dır. Bir P(x) polinomunun derecesini d ( P(x) ) biçiminde göstereceğiz. Örneğin, x4 – 2x3 + 5x2 + x + 3 ise d ( P(x) ) = 4 dür.
İki polinomun eşitliği (denkliği): O iki polinomun derecelerinin aynı ve aynı dereceden terimlerinin katsayılarının eşitliği ile tanımlanır. P(x) = ax3 + bx2 + cx + d Q(x) = 2x2 – 3x + 4 iken, P(x) = Q(x) ise: ax3 + bx2 + cx + d = 2x2 – 3x + 4 den a = 0, b = 2, c = –2 ve d = 9 bulunur.
POLİNOMLARDA TOPLAMA – ÇIKARMA Toplama ve çıkarma aynı dereceden terimlerin toplama veya çıkarılması ile yapılır.
POLİNOMLARDA ÇARPMA a) Tek terimli bir polinomun çok terimli bir polinomla çarpımını yapmak için çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği uygulanır. Örneğin; 3x2(2x3 – 3x2 + 5x – 3) = 6x5 – 9x4 + 15x3 – 9x2 dir.
b) Çok terimlilerin çarpımında, birinci polinomun her terimi ikinci polinomun her terimi ile ayrı ayrı çarpılır. Bunların toplamı alınır. Polinomların çarpımında, çarpımın derecesi, çarpanların dereceleri toplamına eşittir. d(P(x) . Q(x)) = d(P(x) + d(Q(x) ) dır.
ÖRNEK : P(x) = x2 – 2x + 1 Q(x) = x3 – 3x2 ise P(x). Q(x) = ?
Çözüm : d ( P(x) . Q(x) = d ( P(x) ) + d(Q(x)) olduğu için 15 = 12 + n n = 3 tür.
ÖRNEK :
polinomunun derecesi kaçtır?
Çözüm : n + 24 ve 8n doğal sayı olmalıdır. Buradan n = 2 ise 2+24 = 1 ve 82 = 4 bulunur. O halde polinom P(x) = 3x + 2x4 = 3x2 + 4 biçimindedir. Azalan kuvvetlere göre sıralanırsa P(x) = 2x4 + 3x2 = 3x + 4 dür. P(x) in derecesi 4 olarak bulunur.
Polinomlarda bazı özel çarpımlar vardır. Bunlara özdeşlikler de denir. Bu çarpımları ezbere bilmek gerekir. Bunları tersinden kullanarak çarpanlara ayırmaları yaparız.
ÖZDEŞLİKLER : 1) (x – y) (x + y) = x2 – y2 2) (x – y) (x2 + xy + y + y2 3) (x – y) (x3 + x2y + xy2 + y4) = x4 – y4 4) Genel olarak (x–y) (xn–1 + xn–2y + xn–2 y2 +...+ xyn–2 + yn–1)=xn–yn dir. 5) x + y ≠ 0 koşulu ile (x + y)0 = 1 (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 (iki terimli toplamın karesi: birincinin karesi + birinci ile ikincinin çarpımının iki katı + ikincinin karesidir.) (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 (İki terimin toplamının küpünü siz yukarıdaki gibi ifade edin. (x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 dür. Terimlerde xin üzeri bir azalırken y nin üzeri bir artarak sıra ile yazıldığına dikkat ediniz. Kat sayıları paskal üçgeninden bulunur. Paskal üçgeni:
Örneğin (x + y)5 in açılımı istense 5. derece (6. sıra) karşısında bulunan sayılar sıra ile katsayı olarak alınırlar ve, (x+y)5 = x5 + 5xy4 + 10x3Y2 + 10x2y3 = 5xy4 + y5 olarak bulunur. 6) x – y ≠ 0 için (x – y)0 = 1 (x – y)1 = x – y (x – y)2 = x2 – 2xy + y2 (x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
Paz Ara. 21, 2008 5:22 pm